问反三角函数导数表

【反三角函数导数表】在微积分的学习中，反三角函数的导数是求导过程中经常遇到的内容。掌握这些导数有助于解决与角度、弧度以及相关函数变化率有关的问题。以下是对常见反三角函数导数的总结，并以表格形式清晰展示。

一、反三角函数导数总结

1. 反正弦函数（arcsin x）

反正弦函数的导数为：

$$

\frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

$$

其定义域为 $-1 \leq x \leq 1$，值域为 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$。

2. 反余弦函数（arccos x）

反余弦函数的导数为：

$$

\frac{d}{dx} \arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

$$

定义域同样为 $-1 \leq x \leq 1$，但值域为 $[0, \pi]$。

3. 反正切函数（arctan x）

反正切函数的导数为：

$$

\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1 + x^2}

$$

定义域为全体实数，值域为 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$。

4. 反余切函数（arccot x）

反余切函数的导数为：

$$

\frac{d}{dx} \operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2}

$$

定义域为全体实数，值域为 $(0, \pi)$。

5. 反正割函数（arcsec x）

反正割函数的导数为：

$$

\frac{d}{dx} \operatorname{arcsec} x = \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}

$$

定义域为 $x \leq -1$ 或 $x \geq 1$，值域为 $[0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi]$。

6. 反余割函数（arccsc x）

反余割函数的导数为：

$$

\frac{d}{dx} \operatorname{arccsc} x = -\frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}

$$

定义域同样为 $x \leq -1$ 或 $x \geq 1$，值域为 $[-\frac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{2}]$。

二、反三角函数导数表

通过上述总结和表格，可以快速查阅并理解反三角函数的导数公式及其适用范围。在实际应用中，这些导数常用于求解几何、物理和工程中的相关问题，尤其是在涉及角度变化率或曲线斜率时。