【概率论公式总结大全】概率论是研究随机现象及其规律的数学分支，广泛应用于统计学、机器学习、金融工程等多个领域。为了帮助学习者更好地掌握概率论的核心概念和常用公式，本文将对概率论中的基本概念、重要定理及常见公式进行系统性总结，并以表格形式呈现，便于查阅与记忆。
一、基本概念
| 概念 | 定义 |
| 随机事件 | 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。 |
| 样本空间 | 所有可能结果的集合，记为 $ S $。 |
| 事件的概率 | 表示某事件发生的可能性大小，记为 $ P(A) $，满足 $ 0 \leq P(A) \leq 1 $。 |
| 互斥事件 | 两个事件不能同时发生，即 $ A \cap B = \emptyset $。 |
| 独立事件 | 一个事件的发生不影响另一个事件的发生，即 $ P(A \cap B) = P(A)P(B) $。 |
二、概率的基本性质
| 公式 | 说明 |
| $ P(S) = 1 $ | 样本空间的概率为 1。 |
| $ P(\emptyset) = 0 $ | 不可能事件的概率为 0。 |
| $ 0 \leq P(A) \leq 1 $ | 任意事件的概率在 0 到 1 之间。 |
| $ P(A^c) = 1 - P(A) $ | 事件 $ A $ 的补集的概率等于 1 减去 $ A $ 的概率。 |
| $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $ | 两事件并的概率公式。 |
三、条件概率与独立性
| 公式 | 说明 | |
| $ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $（$ P(B) > 0 $） | 条件概率公式，表示在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。 |
| $ P(A \cap B) = P(A | B)P(B) $ | 条件概率的乘法公式。 |
| 若 $ A $ 与 $ B $ 独立，则 $ P(A | B) = P(A) $ | 独立事件的条件概率等于其自身概率。 |
四、全概率公式与贝叶斯公式
| 公式 | 说明 | |||
| $ P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A | B_i)P(B_i) $ | 全概率公式，适用于划分样本空间的事件 $ B_1, B_2, ..., B_n $。 | ||
| $ P(B_i | A) = \frac{P(A | B_i)P(B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A | B_j)P(B_j)} $ | 贝叶斯公式，用于计算后验概率。 |
五、随机变量与分布函数
| 概念 | 公式/定义 |
| 离散型随机变量 | 取值为有限或可列无限个数的随机变量。 |
| 连续型随机变量 | 取值为连续区间的随机变量。 |
| 分布函数 $ F(x) $ | $ F(x) = P(X \leq x) $，描述随机变量的累积分布情况。 |
| 概率质量函数 $ P(X = x) $ | 离散型随机变量的取值概率。 |
| 概率密度函数 $ f(x) $ | 连续型随机变量的概率密度函数，满足 $ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1 $。 |
六、期望与方差
| 公式 | 说明 |
| $ E(X) = \sum_{x} x \cdot P(X = x) $（离散） $ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx $（连续） | 随机变量的期望，表示平均值。 |
| $ Var(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2 $ | 方差，衡量随机变量与其均值的偏离程度。 |
| $ D(aX + b) = a^2 D(X) $ | 方差的线性变换性质。 |
七、常见概率分布
| 分布类型 | 参数 | 概率函数 | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ Var(X) $ |
| 二项分布 | $ n, p $ | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 | $ \lambda $ | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 正态分布 | $ \mu, \sigma^2 $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 均匀分布 | $ a, b $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $（区间内） | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 指数分布 | $ \lambda $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $（$ x \geq 0 $） | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
八、协方差与相关系数
| 公式 | 说明 |
| $ Cov(X,Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] $ | 协方差，衡量两个随机变量之间的线性关系。 |
| $ \rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} $ | 相关系数，取值范围为 [-1, 1]，衡量线性相关程度。 |
九、大数定律与中心极限定理
| 定理 | 内容 |
| 大数定律 | 当样本容量趋于无穷时，样本均值依概率收敛于总体期望。 |
| 中心极限定理 | 对于独立同分布的随机变量序列，当样本容量足够大时，其均值近似服从正态分布。 |
总结
概率论是理解和分析随机现象的重要工具，掌握其核心公式和概念对于进一步学习统计学、数据科学等学科具有重要意义。本文通过表格形式对概率论的主要公式进行了归纳整理，旨在帮助读者系统复习和高效记忆。建议结合实际问题进行练习，加深对理论的理解与应用能力。