【根的公式】在数学中，“根的公式”通常指的是求解二次方程的求根公式，也称为“求根公式”。它是解决形如 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的二次方程的重要工具。通过该公式，我们可以直接计算出方程的两个实数或复数根。
一、根的公式总结
对于一般的二次方程：
$$
ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)
$$
其根的公式为：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
其中：
- $ a $ 是二次项的系数；
- $ b $ 是一次项的系数；
- $ c $ 是常数项；
- $ \sqrt{b^2 - 4ac} $ 称为判别式（Discriminant），记作 $ D $。
根据判别式的值，可以判断方程的根的性质：
| 判别式 $ D = b^2 - 4ac $ | 根的情况 |
| $ D > 0 $ | 有两个不相等的实数根 |
| $ D = 0 $ | 有两个相等的实数根 |
| $ D < 0 $ | 有两个共轭复数根 |
二、应用举例
例1： 解方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $
- $ a = 1 $, $ b = -5 $, $ c = 6 $
- 判别式 $ D = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1 $
- 根为：
$$
x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \times 1} = \frac{5 \pm 1}{2}
$$
所以，$ x_1 = 3 $，$ x_2 = 2 $
例2： 解方程 $ x^2 + 2x + 1 = 0 $
- $ a = 1 $, $ b = 2 $, $ c = 1 $
- 判别式 $ D = 2^2 - 4 \times 1 \times 1 = 4 - 4 = 0 $
- 根为：
$$
x = \frac{-2 \pm \sqrt{0}}{2} = \frac{-2}{2} = -1
$$
所以，$ x_1 = x_2 = -1 $
例3： 解方程 $ x^2 + x + 1 = 0 $
- $ a = 1 $, $ b = 1 $, $ c = 1 $
- 判别式 $ D = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3 $
- 根为：
$$
x = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}
$$
所以，$ x_1 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} $，$ x_2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} $
三、小结
根的公式是解决二次方程的关键方法，能够快速求得方程的解，并通过判别式判断根的类型。掌握这一公式不仅有助于解题，还能加深对二次函数图像和性质的理解。在实际应用中，它广泛用于物理、工程、经济学等多个领域。